Question

已知曲線的參數方程是 (φ為參數)，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程是ρ＝2，正方形ABCD的頂點都在上，且A，B，C，D依逆時針次序排列，點A的極坐標為.
（Ⅰ）求點A，B，C，D的直角坐標；
（Ⅱ）設P為上任意一點，求的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)；（Ⅱ）的取值范圍是[32,52]

解析試題分析：（Ⅰ）根據已知條件可得A（2cos，2sin），B（2cos（＋）,2sin（＋）），C（2cos（＋π）,2sin（＋π）），D（2cos（＋）,2sin（＋）），然后將其化為直角坐標即可；（Ⅱ）設P(2cosφ，3sinφ)，令S＝，利用三角函數求解.
試題解析： (1)由已知可得A（2cos，2sin），B（2cos（＋）,2sin（＋）），
C（2cos（＋π）,2sin（＋π）），D（2cos（＋）,2sin（＋）），4分
即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)．   5分
(2)設P(2cosφ，3sinφ)，令S＝，
則S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.  9分
因為0≤sin2φ≤1，所以S的取值范圍是[32,52]．         10分
考點：極坐標和參數方程、三角函數、直角坐標和極坐標互化.