Question

設各項均為正數的等比數列{a_n}中，a₁＋a₃＝10，a₃＋a₅＝40. 數列{b_n}中，前n項和
(1)求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
(2)若c₁＝1，c_n＋1＝c_n＋，求數列的通項公式
(3)是否存在正整數k，使得＋＋…＋＞對任意正整數n均成立？若存在，求出k的最大值，若不存在，說明理由．

Answer 1

(1)）   (2)    （3）

試題分析：（1）解：設數列{a_n}的公比為q（q＞0），由a₁+a₃=10，a₃+a₅=40，則a₁+a₁q²=10①，a₁q²+a₁q⁴=40②∵a₁≠0，②÷①得：q²=±2，又q＞0，∴q=2．把q=2代入①得，a₁=2．∴a_n=a₁q^n-1=2×2^n-1=2ⁿ根據，那么對于n=1，，綜上可知
（2）那么可知c₁＝1，c_n＋1＝c_n＋= c_n＋ ，利用累加法可知
（3）假設存在正整數K，使得＋＋…＋＞對任意正整數n均成立，則只要求解的前n項和即可通過放縮法得到k的取值范圍,即。
點評：本題考查了等比數列的通項公式，考查了數列的遞推式，訓練了利用錯位相減法求數列的前n項和，屬中檔題．