Question

對函數f（x）=x³+ax²+bx+c作代換x=g（t），則總不會改變函數f（x）的值域的代換是（　　）

• A．g(t)=log

  1

  3

  t
• B．g（t）=2^t
• C．g（t）=sint
• D．g(t)=

  1

  x3

Answer 1

分析：要不改變f（x）值域，對函數f（x）=x³+ax²+bx+c作代換x=g（t），則不改變原函數的定義域即可，所以變換后的函數g（t）的值域須為R，由此一一判斷即可

解答：解：根據題意：函數f（x）的定義域是R，
要求總不改變f（x）值域，則變換后的函數g（t）的值域為R
A、由對數函數的性質知g（t）的值域為R
B、由指數函數的性質知g（t）的值域為（0，+∞）
C，由正弦函數的性質知g（t）的值域為[-1，1]
D、由冪函數的性質知g（t）的值域為（-∞，0）∪（0，+∞）
故選A．

點評：本題考查的重點是對函數代換的理解，通過換元，考查了指數函數，對數函數，冪函數，三角函數的定義域和值域，有一定的綜合性．