Question

設數列{a_n}的各項均為正數，前n項和為S_n，對于任意的n∈N_＋，a_n，S_n，a成等差數列，設數列{b_n}的前n項和為T_n，且b_n＝，若對任意的實數x∈(1，e](e是自然對數的底)和任意正整數n，總有T_n<r(r∈N_＋)．則r的最小值為________．

Answer 1

2

根據題意，對于任意n∈N_＋，總有a_n，S_n，a成等差數列，則對于n∈N^*，總有2S_n＝a_n＋①
所以2S_n－1＝a_n－1＋ (n≥2)②
①－②得2a_n＝a_n＋－a_n－1－，即a_n＋a_n－1＝(a_n＋a_n－1)(a_n－a_n－1)因為a_n，a_n－1均為正數，所以a_n－a_n－1＝1(n≥2)，
所以數列{a_n}是公差為1的等差數列，又n＝1時，2S₁＝a₁＋a，解得a₁＝1，所以a_n＝n，對于任意的實數x∈(1，e]，有0<ln x<1，對于任意正整數n.總有b_n＝≤，所以T_n≤＝，又對任意的實數x∈(1，e]和任意正整數n，總有T_n<r(r∈N_＋)，所以r的最小值為2.