Question

函數

（1）設函數，若方程在上有且僅一個實根，求實數 的取值范圍；

（2）當時，求函數在上的最大值.

 

Answer 1

（1）實數 的取值范圍

（2）當時，，當時，

【解析】

試題分析：（1）由二次方程在上有且僅一個實根，說明且根在上或一根在上一根不在上兩種情況，由以上情況列出相應關系式求實數

（2）當時，在上是分段函數，分段函數的最值，應先求出函數在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值為整個函數的最大值.

試題解析：

（1）方程在上有且僅一個實根

即方程在上有且僅一個實根 2分

Ⅰ當方程在上有兩個相等實根

此時無解； 4分

Ⅱ當方程一根在上一根不在上分兩類情況

①在上有且僅一個實根，則

即 6分

②當時，此時方程

符合題意

綜上所述，實數 的取值范圍 8分

（2）Ⅰ當時，

∴當時， 10分

Ⅱ當時，

∵函數在上單調遞增

∴ 12分

由得又

∴當時，，當時，. 14分

考點：二次方程的實根分布，分段函數求最值.