Question

已知:如圖，等腰直角三角形的直角邊，沿其中位線將平面折起，使平面⊥平面，得到四棱錐，設、、、的中點分別為、、、.

（1）求證：、、、四點共面；

（2）求證：平面平面；

（3）求異面直線與所成的角.

 

Answer 1

（1）見解析；（2）見解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）要證四點共面，只需找到一個平面，這四個點都在這個平面內，用確定平面的方法，兩條平行線確定一個平面，即可證出；（2）要證明兩個平面垂直，只需證明其中一個平面經過另一個平面的一條垂線即可，也就是只需證線面垂直即可，而要證線面垂直，只需證明這條直線垂直平面內的兩條相交直線，這樣，一步步尋找成立的條件即可；（3）求異面直線所成角，先平移兩條異面直線中的一條，使它們成為相交直線，則相交直線所成角就是異面直線所成角或其補角，再放入三角形中計算即可.

試題解析：(1)由條件有為的中位線，為梯形的中位線

∥，∥

四點共面 3分

（2）證明:由等腰直角三角形有，

又，面 又∥

平面，平面

平面平面 6分

(3)由條件知

延長到，使，連結 8分

則，故為平行四邊形 10分

，又

為異面直線BE與QM所成的角（或的補角） 11分

，且三線兩兩互相垂直

∴由勾股定理得 12分

ACR為正三角形，＝，異面直線與所成的角大小為 13分.

考點：1.平面的基本性質；2.平面與平面垂直的判定；3.異面直線及其所成的角.