Question

設a＞0，函數．
（1）求證：關于x的方程沒有實數根；
（2）求函數的單調區間；
（3）設數列{x_n}滿足，當a=2且，證明：對任意m∈N*都有．

Answer 1

解：（1）∵方程，
∴，
∴﹣x+a+1=0，
∵a＞0，
∴△=1﹣4（a+1）=﹣4a﹣3＜0
方程沒有實數根；
（2）∵函數，
∴g'（x）=a+2x+a，
令g'（x）=a+2x+a=0，則△=4﹣4a²，
①當△=4﹣4a²＜0，即a＞1，對任意實數g'（x）＞0，
∴g（x）在R上單調遞增
②當△=4﹣4a²=0，即a=1，g'（1）=0，但g'（x）＞0，（x≠1），
∴g（x）在R上單調遞增
③當△=4﹣4a²＞0，即0＜a＜1，對任意實數由g'（x）＞0，a+2x+a＞0，得x或x＞，
∴g（x）在（）上單調遞減，g（x）在（﹣∞，），（，+∞）上單調遞增
（3）當a=2時，由=0，得  x₂=f（）=f（0）=，
|﹣x₂|=，|x₃﹣x₂|=||=×|x₂²﹣x₁²|＜×|x₂﹣||x₂+|
=××|x₂﹣|=
當k≥2時，∵0＜xk≤
∴|x_k+1﹣x_k|=||=×|x_k²﹣x_k﹣1²|<×|x_k﹣x_k﹣1||x_k+x_k﹣1|＜×|x_k﹣x_k﹣1|＜×|x_k﹣1﹣x_k﹣2|＜…＜×|x₃﹣x₂|＜
對任意m∈N+，|x_m+k﹣x_k|=|（x_m+k﹣x_m+k﹣1）+（x_m+k﹣1﹣x_m+k﹣2）+（x_m+k﹣2﹣x_m+k﹣3）…+（x_k+1﹣x_k）|≤|（x_m+k﹣x_m+k﹣1）|+|（x_m+k﹣1﹣x_m+k﹣2）|+…+|（x_k+1﹣x_k）|
≤（++…++1）|x_k+1﹣x_k|=|x_k+1﹣x_k|=·=，即證；