Question

已知橢圓的參數方程

X=3cosθ y=2sinθ

（θ為參數），求橢圓上的動點P到直線

x=2-3t y=2+2t

（t為參數）的最短距離．

Answer 1

分析：設動點P（3cosθ，2sinθ），由點到直線的距離公式求出它到直線的距離d，再由及正弦函數的有界性求出答案．

解答：解：直線

x=2-3t y=2+2t

（t為參數） 即  2x+3y-10=0．橢圓

X=3cosθ y=2sinθ

 即

x2

9

+

y2

4

=1．
設橢圓上的動點P（3cosθ，2sinθ）到直線的距離等于
d=

|6cosθ+6sinθ-10|

4+9

=

|6 2 sin(θ+ π 4 )-10|

13

，
∵6

2

sin（θ+

π

6

 ）-10∈[-6

2

-10，6

2

-10]，∴

|6 2 sin(θ+ π 4 )-10|

13

∈[

10-6 2

13

，

10+6 2

13

]，
∴d的最小值為

10-6 2

13

．

點評：本題考查點到直線的距離公式的應用，橢圓的參數方程，以及正弦函數的有界性．利用正弦函數的有界性求出d的最小值是本題的難點，屬于中檔題．