Question

如圖，已知|

AB

|=2c，|

BC

|=2a（a＞c），且

AD

=

1

2

AC

，

DP

•

AC

=0，C為動點．
（1）建立適當的平面直角坐標系，求出點P的軌跡方程；
（2）若點P的軌跡上存在兩個不同的點E、F，且線段EF的中垂線與AB（或AB的延長線）相交于一點Q，求出點Q的活動范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知，根據向量關系，結合線段中垂線性質，研究出|

PA|

+|

PB

|=|

BC

|=2a＞2c，得知點P是以A，B為焦點，長軸長為2a的橢圓，可寫出其軌跡方程．
 （2）設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），Q（x₀，0），得出 x₀=

(x1+x2)c2

2a

，再根據-a≤x₁≤a，-a≤x₂≤a求出|x₀|＜

c2

a

．點在與AB中點相距 

c2

a

的線段上活動（不包括兩端點）．

解答：解：如圖，以A，B所在直線為x軸，A，B的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系．由題設，2

AD

=

AC

，

PD

•

AC

=0，
∴||

PC

|=

|PA

|．
而|

PA|

+|

PB

|=|

BC

|=2a＞2c
∴點P是以A，B為焦點，長軸長為2a的橢圓．即

x2

a2

+

y2

a2-c2

=1
（2）設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），Q（x₀，0）
x₁≠x₂，|

QE

|=|

QF

|
即（x₁-x₀）2+y₁²=（x₂-x₀）²+y₂^{2 ①}
又E，F在軌跡上，∴

x12

a2

+

y12

a2-c2

=1，

x22

a2

+

y22

a2-c2

=1
 將y₁²，y₂² ，代入①式整理，得
2（x₂-x₁）═（x₂-x₁）²•

c2

a2

       
∵x₁≠x₂，∴x₀=

(x1+x2)c2

2a

-a≤x₁≤a，-a≤x₂≤a，
-2a＜x₁+x₂ ＜2a
-

c2

a

＜x₀＜

c2

a

．
即|x₀|＜

c2

a

．
∴點在與AB中點相距 

c2

a

的線段上活動（不包括兩端點）．

點評：本題考查橢圓的定義、標準方程，橢圓的簡單幾何性質，直線與橢圓位置關系．（1）中得出而|

PA|

+|

PB

|=|

BC

|=2a＞2c （2）中得出 x₀=

(x1+x2)c2

2a

是關鍵．考查解析法的思想、計算能力．