Question

已知a，b∈R，函數f(x)＝a＋ln(x＋1)的圖象與g(x)＝x³－x²＋bx的圖象在交點(0,0)處有公共切線．
(1)證明：不等式f(x)≤g(x)對一切x∈(－1，＋∞)恒成立；
(2)設－1＜x₁＜x₂，當x∈(x₁，x₂)時，證明：.

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

(1)由題意得f′(x)＝，g′(x)＝x²－x＋b，x＞－1，
則解得 
∴f(x)＝ln(x＋1)(x＞－1)，g(x)＝x³－x²＋x.
令h(x)＝f(x)－g(x)
＝ln(x＋1)－x³＋x²－x(x＞－1)，
∴h′(x)＝－x²＋x－1＝－，
∴h(x)在(－1,0)上單調遞增，在(0，＋∞)上單調遞減，
∴h(x)≤h(0)＝0，∴f(x)≤g(x)．
(2)當x∈(x₁，x₂)時，由題意得－1＜x₁＜x＜x₂，
①設u(x)＝(x＋1)[f(x)－f(x₁)]－(x－x₁)，
則u′(x)＝ln(x＋1)－ln(x₁＋1)＞0，
∴u(x)＞u(x₁)＝0，即(x＋1)[f(x)－f(x₁)]－(x－x₁)＞0，
∴；
②設v(x)＝(x＋1)[f(x)－f(x₂)]－(x－x₂)，
則v′(x)＝ln(x＋1)－ln(x₂＋1)＜0，
∴v(x)＞v(x₂)＝0，即(x＋1)[f(x)－f(x₂)]－(x－x₂)＞0，
∴，
由①②得.