Question

（12分）定義在上的函數，，當時，.且對任意的有。

（1）證明：；

（2）證明：對任意的，恒有；

（3）證明：是上的增函數；

（4）若，求的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）令即可證明（2）分證明即可

（3）利用單調性定義即可證明（4）

【解析】

試題分析：（1）證明：令，，又，

所以.                                                                      ……2分

（2）證明：由已知當時，，由（1）得，

故當時，成立,

當時， ，所以，

而，所以,

可得

綜上：對任意的，恒有成立.                                             ……6分

（3）證明：設，則，

而，，

即，是上增函數得證。                                              ……10分

(4)由，可得，

又因為是上增函數，所以，解得，

所以：所求的取值范圍.                                                     ……12分

考點：本小題主要考查抽象函數的求值，單調性，抽象不等式的求解.

點評：求解抽象函數問題，主要的方法是賦值法，證明抽象函數的單調性只能用定義，證明時要盡量化簡到最簡單.