Question

在四棱錐 A-BCDE中，底面是直角梯形，其中 BC∥DE，∠BCD=90°，且 DE=CD=

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BC，又AB=AE=

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BC，AC=AD，
求證：面ABE⊥面BCD．

Answer 1

分析：取BE的中點M，CD的中點N，連接 AM，AN，MN，由等腰三角形可得AM⊥BE，AN⊥CD，在直角梯形BCDE中，由中位線可得MN∥BC，
而∠BCD=90°即MN⊥CD，所以CD⊥面AMN，CD⊥AM，AM⊥BE，由線面垂直的判定定理可得 AM⊥面BCD，進而得到面面垂直．

解答：證明：取BE的中點M，CD的中點N，連接 AM，AN，MN，
∵AB=AC
∴AM⊥BE 同理  AC=AD 有AN⊥CD
  在直角梯形BCDE中，
∵M、N分別是BE、CD的中點
∴MN∥BC
 又∵∠BCD=90°
∴MN⊥CD
∴CD⊥面AMN
∴CD⊥AM
 又∵AM⊥BE，CD、BE 是梯形的兩個腰，即它們一定相交，
∴AM⊥面BCD，又AM?面ABE
∴面ABE⊥面BCD．

點評：本題主要考查線線，線面，面面垂直關系的轉化與應用，考查的重點是垂直的判定定理和性質定理，是常考類型，屬中檔題．