Question

已知F₁（-2，0），F₂（2，0）是橢圓C的兩個焦點，過F₁的直線與橢圓C的兩個交點為M，N，且|MN|的最小值為6．
（I）求橢圓C的方程；
（II）設A，B為橢圓C的長軸頂點．當|MN|取最小值時，求∠AMB的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意，設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其中c=2，a²-b²=4．設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．若直線MN⊥x軸，則MN的方程為x=-2，由此能夠求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）由A（-4，0），B（4，0）．當|MN|取得最小值時，MN⊥x軸．根據橢圓的對稱性，取M（-2，3），∠AMB即直線AM到直線MB的角．由此能夠求出∠AMB的大小．

解答：解：（Ⅰ）由題意，設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其中c=2，a²-b²=4．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
若直線MN⊥x軸，則MN的方程為x=-2，代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，得y²=b²（1-

4

a2

）=

b4

a2

，
∴|y₁-y₂|=

b2

a

，即|AB|=

2b2

a

．
若直線MN不與x軸垂直，則設MN的方程為y=k（x+2），代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，
得

x2

a2

+

k2(x2+4x+4)

b2

=1，
即 （a²k²+b²）x²+4a²k²x+a²（4k²-b²）=0．
△=（4a²k²）²-4（a²k²+b²）a²（4k²-b²）
=4a²b²[（a²-4）k²+b²]=4a²b⁴（1+k²），
∴|x₁-x₂|=

2ab2 1+k2

a2k2+b2

，
∴|MN|=

2ab2 1+k2

a2k2+b2

•

1+k2

=

2ab2(1+k2)

a2k2+b2

=

2b2

a

•

1+k2

k2+ b2 a2

＞

2b2

a

．
綜上，|MN|的最小值為

2b2

a

．
由題知

2b2

a

=6，即 b²=3a．
代入a²-b²=4，得a²-3a-4=0，
解得a=-1（舍），或a=4．∴b²=12．
∴橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

12

=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（-4，0），B（4，0）．
當|MN|取得最小值時，MN⊥x軸．
根據橢圓的對稱性，不妨取M（-2，3），
∠AMB即直線AM到直線MB的角．
∵AM的斜率k₁=

3-0

-2+4

=

3

2

，
BM的斜率k₂=

3-0

-2-4

=-

1

2

，
∴tan∠AMB=

k2-k1

1+k1k2

=-8．
∵∠AMB∈（0，π），
∴∠AMB=π-arctan8．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．