Question

已知F₁（-2，0），F₂（2，0），點P滿足|PF₁|-|PF₂|=2，記點P的軌跡為E．
（1）求軌跡E的方程；
（2）若直線l過點F₂且與軌跡E交于P、Q兩點．無論直線l繞點F₂怎樣轉動，在x軸上總存在定點M（m，0），使MP⊥MQ恒成立，求實數m的值．

Answer 1

分析：（1）由條件知，點P的軌跡E是以F₁、F₂為焦點的雙曲線右支，從而寫出軌跡E的方程即可．
（2）當直線l的斜率存在時，設直線方程為y=k（x-2），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），將直線的方程代入雙曲線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用向量垂直關系即可求得m值，從而解決問題．

解答：解：（1）由|PF₁|-|PF₂|=2＜|F₁F₂|知，點P的軌跡E是以F₁、F₂為焦點的雙曲線右支，
由c=2，2a=2，∴b²=3，故軌跡E的方程為x2-

y2

3

=1(x≥1)．
（2）當直線l的斜率存在時，設直線方程為y=k（x-2），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
與雙曲線方程聯立消y得（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0，
∴

k2-3≠0 △＞0 x1+x2= 4k2 k2-3 ＞0 x1•x2= 4k2+3 k2-3 ＞0

解得k²＞3．
∵

MP

•

MQ

=(x1-m)(x2-m)+y1y2
=（x₁-m）（x₂-m）+k²（x₁-2）（x₂-2）
=（k²+1）x₁x₂-（2k²+m）（x₁+x₂）+m²+4k²
=

(k2+1)(4k2+3)

k2-3

-

4k2(2k2+m)

k2-3

+m2+4k2
=

3-(4m+5)k2

k2-3

+m2．（7分）
∵MP⊥MQ，∴

MP

•

MQ

=0，
故得3（1-m²）+k²（m²-4m-5）=0對任意的k²＞3恒成立，
∴

1-m2=0 m2-4m-5=0

，解得m=-1．
∴當m=-1時，MP⊥MQ．
當直線l的斜率不存在時，由P（2，3），Q（2，-3）及M（-1，0）知結論也成立，
綜上，當m=-1時，MP⊥MQ．

點評：本題考查用待定系數法求雙曲線的標準方程，利用兩個向量的數量積公式及雙曲線的性質解決具體問題，體現了分類討論的數學思想．