Question

（2006•朝陽區二模）已知向量

m

=（cos

x

3

，

3

cos

x

3

），

n

=（sin

x

3

，cos

x

3

），函數f（x）=

m

•

n

．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的單調遞增區間及其圖象的對稱中心．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據向量數量積的運算表示出f（x），然后逆用二倍角的余弦公式可進行化簡；
（Ⅱ）由2kπ-

π

2

≤

2x

3

+

π

3

≤2kπ+

π

2

，可求得f（x）的增區間；令

2x

3

+

π

3

=kπ，（k∈Z）可求函數圖象的對稱中心；

解答：解：（Ⅰ）f(x)=cos

x

3

sin

x

3

+

3

cos2

x

3

=

1

2

sin

2x

3

+

3

2

cos

2x

3

+

3

2

=sin(

2x

3

+

π

3

)+

3

2

．
（Ⅱ）由2kπ-

π

2

≤

2x

3

+

π

3

≤2kπ+

π

2

，得3kπ-

5π

4

≤x≤3kπ+

π

4

．
∴f（x）的單調增區間為[3kπ-

5π

4

，3kπ+

π

4

]（k∈Z）．
令

2x

3

+

π

3

=kπ，則．（k∈Z）．
∴對稱中心是（

3k-1

2

π，

3

2

）（k∈Z）．

點評：本題考查三角函數的恒等變換、數量積運算及三角函數的單調性對稱性，考查學生綜合運用知識解決問題的能力．