Question

設，兩個函數，的圖像關于直線對稱.
（1）求實數滿足的關系式；
（2）當取何值時，函數有且只有一個零點；
（3）當時，在上解不等式．

Answer 1

（1）；（2）；（3）．

解析試題分析：（1）兩個函數的圖象關于某條直線對稱，一般都是設是一個函數圖象上的任一點，求出這個點關于直線對稱的點，而點就在第二個函數的圖象上，這樣就把兩個函數建立了聯系；（2）函數有且只有一個零點，一般是求，通過討論函數的單調性，最值，從而討論零點的個數，當然本題中由于與的圖象關于直線對稱，因此的唯一零點也就是它們的的唯一交點必在直線上，這個交點是函數圖象與直線的切點，這樣我們可從切線方面來解決問題；（3）考慮，
當然要解不等式，還需求，討論的單調性，極值，從而確定不等式的解集．
試題解析：（1）設是函數圖像上任一點，則它關于直線對稱的點在函數的圖像上，，.
（2）當時，函數有且只有一個零點，兩個函數的圖像有且只有一個交點，兩個函數關于直線對稱，兩個函數圖像的交點就是函數，的圖像與直線的切點.
設切點為，，，，,
當時，函數有且只有一個零點；
（3）當時，設 ，則
，當時，，，
當時，，．
在上是減函數.
又＝0，不等式解集是．
考點：（1）兩個函數圖象的對稱問題；（2）函數的零點與切線問題；（3）解函數不等式．