Question

已知函數f(x)的導函數為f ′(x)，且對任意x＞0，都有f ′(x)＞．
（Ⅰ）判斷函數F(x)＝在(0，＋∞)上的單調性；
（Ⅱ）設x₁，x₂∈(0，＋∞)，證明：f(x₁)＋f(x₂)＜f(x₁＋x₂)；
（Ⅲ）請將（Ⅱ）中的結論推廣到一般形式，并證明你所推廣的結論．

Answer 1

（Ⅰ）F(x)＝在(0，＋∞)上是增函數；（Ⅱ）f(x₁)＋f(x₂)＜f(x₁＋x₂)；（Ⅲ）f(x₁)＋f(x₂)＋…＋f(x_n)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n).

試題分析：（Ⅰ）判斷F(x)的單調性，則需對F(x)求導，得F′(x)＝，∵f ′(x)＞，x＞0，則xf ′(x)－f(x)＞0，即F′(x)＞0，F(x)＝在(0，＋∞)上是增函數.（Ⅱ）要證明f(x₁)＋f(x₂)＜f(x₁＋x₂)，可以從第（Ⅰ）的結論入手，∵x₁＞0，x₂＞0，∴0＜x₁＜x₁＋x₂，F(x)＝在(0，＋∞)上是增函數，則F(x₁)＜F(x₁＋x₂)，即＜，而x₁＞0，所以f(x₁)＜f(x₁＋x₂)，同理f(x₂)＜f(x₁＋x₂)，兩式相加，得f(x₁)＋f(x₂)＜f(x₁＋x₂)，得證.（Ⅲ）（Ⅱ）中結論的推廣形式為：設x₁，x₂，…，x_n∈(0，＋∞)，其中n≥2，則f(x₁)＋f(x₂)＋…＋f(x_n)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n)．證明的方法同（Ⅱ）的證明，∵x₁＞0，x₂＞0，…，x_n＞0，∴0＜x₁＜x₁＋x₂＋…＋x_n．F(x)＝在(0，＋∞)上是增函數，F(x₁)＜F(x₁＋x₂＋…＋x_n)，即＜，而x₁＞0，所以f(x₁)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n)，同理f(x₂)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n)，……
f(x_n)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n)，以上n個不等式相加，得f(x₁)＋f(x₂)＋…＋f(x_n)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n)，得證.
試題解析：（Ⅰ）對F(x)求導數，得F′(x)＝．
∵f ′(x)＞，x＞0，∴xf ′(x)＞f(x)，即xf ′(x)－f(x)＞0，
∴F′(x)＞0．
故F(x)＝在(0，＋∞)上是增函數．
（Ⅱ）∵x₁＞0，x₂＞0，∴0＜x₁＜x₁＋x₂．
由（Ⅰ），知F(x)＝在(0，＋∞)上是增函數，
∴F(x₁)＜F(x₁＋x₂)，即＜．
∵x₁＞0，∴f(x₁)＜f(x₁＋x₂)．
同理可得f(x₂)＜f(x₁＋x₂)．
以上兩式相加，得f(x₁)＋f(x₂)＜f(x₁＋x₂)．
（Ⅲ）（Ⅱ）中結論的推廣形式為：
設x₁，x₂，…，x_n∈(0，＋∞)，其中n≥2，則f(x₁)＋f(x₂)＋…＋f(x_n)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n)．
∵x₁＞0，x₂＞0，…，x_n＞0，
∴0＜x₁＜x₁＋x₂＋…＋x_n．
由（Ⅰ），知F(x)＝在(0，＋∞)上是增函數，
∴F(x₁)＜F(x₁＋x₂＋…＋x_n)，即＜．
∵x₁＞0，
∴f(x₁)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n)．
同理可得
f(x₂)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n)，
f(x₃)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n)，
……
f(x_n)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n)．
以上n個不等式相加，得f(x₁)＋f(x₂)＋…＋f(x_n)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n)．