Question

已知函數（，），．
（Ⅰ）證明：當時，對于任意不相等的兩個正實數、，均有成立；
（Ⅱ）記，
(ⅰ)若在上單調遞增，求實數的取值范圍；
(ⅱ)證明：.

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）(ⅰ)，(ⅱ) 詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）當時，對于任意不相等的兩個正實數、，均有成立，只需求出與的解析式，兩式作差得，判斷符號即可證明；（Ⅱ）記，若在上單調遞增，求實數的取值范圍，首先求出的解析式，從而得，若它在上單調遞增，即它的導函數在上恒大于零，得恒成立，這是恒成立問題，只需把含有的放到不等式的一側，不含的放到不等式的另一側，即，轉化為求的最大值問題，可利用導數求出最大值，從而可得實數的取值范圍. 證明：,因為,只需證它的最小值為,可利用導數證明它的最小值為即可.
試題解析：（Ⅰ）證明： ，
，
，則   ①
，則，②
由①②知．
（Ⅱ）（ⅰ），，
令，則在上單調遞增．
，則當時，恒成立，
即當時，恒成立．
令，則當時，，
故在上單調遞減，從而，
故．（14分）
（ⅱ）法一：，令，
則表示上一點與直線上一點距離的平方．
令，則，
可得在上單調遞減，在上單調遞增，
故，則，
直線與的圖象相切與點，點到直線的距離為，
則，故．
法二：，
令，則．
令，則，顯然在上單調遞減，在上單調遞增，
則，則，故．