Question

對于定義域為的函數，如果存在區間，同時滿足：

①在內是單調函數；②當定義域是，值域也是，則稱是函數

的“好區間”.

（1）設（其中且），判斷是否存在“好區間”，并

說明理由；

（2）已知函數有“好區間”，當變化時，求的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1）不存在“好區間”；（2）的最大值為.

【解析】

試題分析：（1）先求出的定義域.可知要對分情況討論，當時，定義域，在內是增函數；當時，定義域，在內還是增函數.從而得出，即方程在定義域內有兩個不等的實數根，即在定義域內有兩個不等的實數根.再用換元法，設，則相當于兩個不等的實數根，即在內有兩個不等的實數根,通過研究二次函數，發現在內有兩個不等的實數根無解，所以函數不存在“好區間”；（2）函數有“好區間”，由于定義域為，或，易知函數在上單調遞增，，所以是方程，即方程有同號的相異實數根，然后再用判別式求出的范圍，再用韋達定理用表示出，結合的范圍即可求出的最大值.

試題解析：（1）由.              2分

①當時，，此時定義域，，，

，，，

，，

，

在內是增函數；              4分

②當時，，此時定義域，

同理可證在內是增函數；              6分

存在“好區間”，

關于的方程在定義域內有兩個不等的實數根.

即在定義域內有兩個不等的實數根.(*)

設，則(*)，

即在內有兩個不等的實數根，

設，則無解.

所以函數不存在“好區間”.               8分

（2）由題設，函數有“好區間”，

或，函數在上單調遞增，

，所以是方程，即方程有同號的相異實數根. 12分

，同號，或.

,.

當，取得最大值.              16分

考點：1.函數的單調性；2.二次函數根的分布；3.韋達定理.