Question

已知函數．

(1)證明：存在，使；

(2)設=0，，，，其中=1，2，…，證明：；

(3)證明：．

Answer 1

解：(1)令g()=()一，則g(0)=(0)一0=，

g()=()一=－  

又g()在[0，]上連續，所以存在₀∈(0，)使g(₀)=0，即(₀)= ₀

(2)∵()=3²－2+=3(一)²+>0

∴()是R上的單調增函數

∴0<₀<，即₁<₀<y₁，又()是增函數

∴(₁) <(₀)<(y₁)，即₂<₀<y₂

又₂=(₁)=(0)=>0=₁，

y₂=(y₁)=()=< =y₁

綜上，₁<₁<₀<y₂<y₁．

用數學歸納法證明如下：

①當=1時，上面已證明成立；

②假設當=k(k≥1)時，有_k<_k+1<₀<y_k+1<y_k   

當=k+1時，由()是單調遞增函數，有(_k)<(₀)<(y_k+1)<(y_k)

即_k+1<_k+2<₀<y_k+2<y_k+1

由①和②知，對一切=1，2，…，都有_n<_n+1<₀<y_n+1<y_n

(3)方法一：∵0≤_n≤y_n≤，

∴0≤_ny_n，0<_n+y_n<1得一<_n+y_n一<

     ∴=

               =

               ≤(+)²一(+)+

               =(+－)²+<，

即-<(-)．

方法二：0≤≤≤，∴0<+<1

∴

                 =

                 =

                 <

                 =

即。