Question

（Ⅰ）當時，證明函數只有一個零點；
（Ⅱ）若函數在區間上是減函數，求實數的取值范圍

Answer 1

（Ⅱ）

（Ⅰ）當時，，其定義域是 
∴                  …………2分  
令，即，解得或．
，∴ 舍去．                         
當時，；當時，．
∴ 函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減
∴ 當x =1時，函數取得最大值，其值為．
當時，，即．
∴ 函數只有一個零點．               ……………………6分
（Ⅱ）顯然函數的定義域為
∴  ………7分
①當時，在區間上為增函數，不合題意……8分
② 當時，等價于，即
此時的單調遞減區間為．
依題意，得解之得．                       ………10分     
③ 當時，等價于，即
此時的單調遞減區間為，
∴    得
綜上，實數的取值范圍是         …………12分
法二：
①當時，在區間上為增函數，不合題意……8分
②當時，要使函數在區間上是減函數，只需在區間
上恒成立，只要恒成立，
解得或
綜上，實數的取值范圍是          …………12分