Question

已知函數f(x)=4x3-3x2cosθ+

3

16

cosθ，其中x∈R，θ為參數，且0≤θ≤2π．
（Ⅰ）當cosθ=0時，判斷函數f（x）是否有極值；
（Ⅱ）要使函數f（x）的極小值大于零，求參數θ的取值范圍；
（Ⅲ）若對（2）中所求的取值范圍內的任意參數θ，函數f（x）在區間（2a-1，a）內都是增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求函數的導數，f′（x）＞0在（-∞，+∞）上恒成立，得到函數的單調性，從而可判定是否有極值．
（II）先求出極值點，f′（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，來確定極值，求出極小值，使函數f（x）的極小值小于零建立不等關系，求出參數θ的取值范圍即可．
（III）由②知，函數f（x）在區間（-∞，0）與 （

cosθ

2

，+∞）內都是增函數，只需（2a-1，a）是區間（-∞，0）與 （

cosθ

2

，+∞）的子集即可．

解答：解：（Ⅰ）（1）當cosθ=0時，f（x）=4x³，則f（x）在（-∞，+∞）內是增函數，故無極值．
（II）f'（x）=12x²-6xcosθ，令f′（x）=0，得x₁=0，x2=

cosθ

2

．由（1）知，只需分下面兩種情況討論．
（1）當cosθ＞0時，隨x的變化f′（x）的符號及f（x）的變化情況如下表：

∴f（x）在x=

cosθ

2

處取得極小值，且f（

cosθ

2

）=-

cos3θ

4

+

3cosθ

16

＞0
∴0＜cosθ＜

3

2

∴

π

6

＜θ＜

π

2

或

3π

2

＜θ＜

11π

6

（2）cos θ＜0時，隨x的變化f′（x）的符號及f（x）的變化情況如下表：

∵f（x）在x=0處取得極小值f（0），且f（0）=

3cosθ

16

若f（0）＞0則cosθ＞0與已知cosθ＜0矛盾
∴當cosθ＜0時，f（x）的極大值不會大于0
綜上可得，要使得函數f（x）在R上的極小值大于0，θ∈(

π

6

，

π

2

)∪(

3π

2

，

11π

6

)
（III）由（II）知，函數f（x）在區間（-∞，0）與 （

1

2

cosθ，+∞）內都是增函數．
由題設，函數f（x）在（2a-1，a）內是增函數，
則a須滿足不等式組 

2a-1＜a a≤0

    或 

2a-1＜a 2a-1≥ cosθ 2

 由（II），θ∈(

π

6

，

π

2

)∪(

3π

2

，

11π

6

)時，0＜cosθ＜

3

2

要使不等式 2a-1≥

1

2

cosθ關于參數θ恒成立，必有 2a-1≥

3

4

∴a≥

4+ 3

8

綜上可得，a≤0或

4+ 3

8

≤a＜1

點評：本小題主要考查運用導數研究函數的單調性及極值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力．