Question

設三組實驗數據（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃）的回歸直線方程是：

y

=

b

x+

a

，使代數式[y₁-（

b

x₁+

a

）]²+[y₂-（

b

x₂+

a

）]²+[y₃-（

b

x₃+

a

）]²的值最小時，

b

=

x1y1+x2y2+x3y3-3 . x • . y

x12+x22-3 . x 2

，

a

=

.

y

-

b

x，
（

.

x

，

.

y

分別是這三組數據的橫、縱坐標的平均數）．若有六組數據列表如下：

x	2	3	4	5	6	7
y	4	6	5	6.2	8	7.1

（1）求上表中前三組數據的回歸直線方程；
（2）若|y_i-（

b

x_i+

a

）|≤0.2，即稱（x_i，y_i）為（1）中回歸直線的擬和“好點”，求后三組數據中擬和“好點”的概率．

Answer 1

（1）前三組數的平均數為

.

x

=3，

.

y

=5，
∵

b

=

x1y1+x2y2+x3y3-3 . x • . y

x12+x22-3 . x 2

，
∴

b

=

2×4+3×6+4×5-3×3×5

22+32+42-3×32

=

1

2

，
又∵回歸方程

y

=

b

x+

a

必定過樣本中心即（3，5），
∴5=

1

2

×3+

a

，解得

a

=

7

2

，
∴回歸直線方程是

y

=

1

2

x+

7

2

；
（2）后三組數據分別代入|y_i-（

b

x_i+

a

）|中求解可得，
|6.2-3.5-0.5×5|=0.2≤0.2，
|8-3.5-0.5×6|=1.5＞0.2，
|7.1-3.5-0.5×7|=0.1＜0.2，
∵若|y_i-（

b

x_i+

a

）|≤0.2，即稱（x_i，y_i）為（1）中回歸直線的擬和“好點”，
∴擬和“好點”有2組，
∴后三組中擬合“好點”的概率P=

2

3

．