Question

設是定義在的可導函數，且不恒為0，記．若對定義域內的每一個，總有，則稱為“階負函數 ”；若對定義域內的每一個，總有，則稱為“階不減函數”（為函數的導函數）．
（1）若既是“1階負函數”，又是“1階不減函數”，求實數的取值范圍；
（2）對任給的“2階不減函數”，如果存在常數，使得恒成立，試判斷是否為“2階負函數”？并說明理由．

Answer 1

（1）
（2）所有滿足題設的都是“2階負函數”

試題分析：解：（1）依題意，在上單調遞增，
故 恒成立，得，             2分
因為，所以．                        4分
而當時，顯然在恒成立，
所以．                                       6分
（2）①先證：
若不存在正實數，使得，則恒成立．     8分
假設存在正實數，使得，則有，
由題意，當時，，可得在上單調遞增，
當時，恒成立，即恒成立，
故必存在，使得（其中為任意常數），
這與恒成立（即有上界）矛盾，故假設不成立，
所以當時，，即；            13分
②再證無解：
假設存在正實數，使得，
則對于任意，有，即有，
這與①矛盾，故假設不成立，
所以無解，
綜上得，即，
故所有滿足題設的都是“2階負函數”．             16分
點評：主要是考查了新定義的運用，以及函數與方程的運用，屬于中檔題。