Question

設函數的定義域為，對任意的實數都有；當時，，且.（1）判斷并證明在上的單調性；
（2）若數列滿足：，且，證明：對任意的，

Answer 1

（1）單調遞增（2），再利用.

試題分析：（1）在上單調遞增，證明如下： 設任意，且，∵，∴，∴
即，∴在上單調遞增.  
（2）在中，令，得.令，
得，∴.令，得，即

下面用數學歸納法證明：   
①當時，，不等式成立；
②假設當時，不等式成立，即，則∵在上單調遞增，
∴，∴，即當時不等式也成立.
綜上①②，由數學歸納法原理可知對任意的，
點評：本題考查函數的單調性，考查數學歸納法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．