Question

（2010•武漢模擬）給定項數為m（m∈N^*，m≥3）的數列{a_n}，其中a_i∈{0，1}（i=1，2，…m）．若存在一個正整數k（2≤k≤m-1），若數列{a_n}中存在連續的k項和該數列中另一個連續的k項恰好按次序對應相等，則稱數列{a_n}是“k階可重復數列”．例如數列{a_n}：0，1，1，0，1，1，0．因為a₁，a₂，a₃，a₄與a₄，a₅，a₆，a₇按次序對應相等，所以數列{a_n}是“4階可重復數列”．假設數列{a_n}不是“5階可重復數列”，若在其最后一項a_m后再添加一項0或1，均可使新數列是“5階可重復數列”，且a₄=1，數列{a_n}的最后一項a_m=

1

．

Answer 1

分析：利用反證法證明a₄=a_m=1．假設如果a₁，a₂，a₃，a₄與a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m不能按次序對應相等，那么必有2≤i，j≤m-4，i≠j，使得a_i，a_i+1，a_i+2，a_i+3、a_j，a_j+1，a_j+2，a_j+3與a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m按次序對應相等．考慮a_i-1，a_j-1和a_m-4，其中必有兩個相同，這就導致數列{a_n}中有兩個連續的五項恰按次序對應相等，從而數列{a_n}是“5階可重復數列”，這和題設中數列{a_n}不是“5階可重復數列”矛盾得證．

解答：解：由于數列{a_n}在其最后一項a_m后再添加一項0或1，均可使新數列是“5階可重復數列”，即在數列{a_n}的末項a_m后再添加一項0或1，則存在i≠j，使得a_i，a_i+1，a_i+2，a_i+3，a_i+4與a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m，0按次序對應相等，或a_j，a_j+1，a_j+2，a_j+3，a_j+4與a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m，1按次序對應相等，
如果a₁，a₂，a₃，a₄與a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m不能按次序對應相等，那么必有2≤i，j≤m-4，i≠j，使得a_i，a_i+1，a_i+2，a_i+3、a_j，a_j+1，a_j+2，a_j+3與a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m按次序對應相等．
此時考慮a_i-1，a_j-1和a_m-4，其中必有兩個相同，這就導致數列{a_n}中有兩個連續的五項恰按次序對應相等，從而數列{a_n}是“5階可重復數列”，這和題設中數列{a_n}不是“5階可重復數列”矛盾；
所以a₁，a₂，a₃，a₄與a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m按次序對應相等，
從而a_m=a₄=1．
故答案為1

點評：本題以數列為載體，考查新定義，考查學生理解數列概念，靈活運用數列表示的能力．