Question

設函數
（Ⅰ）求的單調區間；
（Ⅱ）證明：當時，；
（Ⅲ）證明：當，且…，，時，
(1)…
(2) ….

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）見解析（Ⅲ）見解析

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。求解函數的單調區間和證明不等是的綜合運用。
（1）先求解函數的定義域和函數的導數，然后結合導數的符號判定單調區間。
（2）運用第一問中的結論。得到不等式的放縮得到證明。
（3）結合第一問和第二問的基礎上，進一步放縮法得到結論。
解：（Ⅰ）由，有，………………… 2分
當時，時，單調遞增；
當時，時，單調遞減；
所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為. …… 4分
（Ⅱ）設，
則.………………6分
由（Ⅰ）知，在單調遞減，
∴，即是減函數，
而，所以，得，
得，故.………………… 8分
（Ⅲ）（1）由…，及柯西不等式可知，
…
……

，                           
所以，……………………11分
（2）由（1）得：.  
又，由（Ⅱ）可知，
即，即.
則.
故………………14分