Question

17.如圖，拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P（1,2）、A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）均在拋物線上.

（Ⅰ）寫出該拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；

（Ⅱ）當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求y₁+y₂的值及直線AB的斜率.

Answer 1

17.本小題主要考查直線、拋物線等基本知識(shí)，考查運(yùn)用解析幾何的方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

解：（Ⅰ）由已知條件，可設(shè)拋物線的方程為y²=2px.

∵點(diǎn)P（1,2）在拋物線上,

∴2²=2p·1,得p=2.

故所求拋物線的方程是y²=4x,

準(zhǔn)線方程是x=－1.

　（Ⅱ）設(shè)直線PA的斜率為k_PA,直線PB的斜率為k_PB，

則k_PA=（x₁≠1）,k_PB=（x₂≠1）.

∵PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)，

∴k_PA=－k_PB.

由A（x₁,y₁），B（x₂,y₂）在拋物線上，得

y₁²=4x₁,                                                           ①

y₂²=4x₂,                                                           ②

∴=－.

∴y₁+2=－（y₂+2）.

∴y₁+y₂=－4.

由①－②得直線AB的斜率

k_AB===－=－1（x₁≠x₂）.