Question

設函數f（x）=ax³+bx+c（a≠0）是定義在R上的奇函數，其圖象在點（1，f（1））處的切線方程是6x+y+4=0．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調遞增區間，并求函數f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據其為奇函數得到c=0；再求出導函數，根據其圖象在點（1，f（1））處的切線方程是6x+y+4=0得到f'（1）=3a+b=-6以及f（1）=-10，即可求出a，b的值；
（Ⅱ）先求原函數的導數，根據f′（x）＞0求得函數的單調增區間，并通過比較極值和端點值的大小即可得到函數f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）因為f（x）為奇函數，所以f（-x）=-f（x）．
即-ax³-bx+c=-ax³-bx-c．解得c=0．…2分
又直線6x+y+4=0的斜率為-6，
所以f'（1）=3a+b=-6．…4分
把x=1代入6x+y+4=0中得f（1）=-10…5分
點（1，-10）在函數f（x）的圖象上，則a+b=-10…6分
解得a=2，b=-12．
所以a=2，b=-12，c=0．…7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x³-12x．
所以f′(x)=6x2-12=6(x+

2

)(x-

2

)．…8分
列表如下：

x	(-∞，- 2 )	- 2	(- 2 ， 2 )	2	( 2 ，+∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

…11分
所以函數f（x）的單調增區間是(-∞，-

2

)和(

2

，+∞)．
因為f（-1）=10，f(

2

)=-8

2

，f（3）=18，
所以f（x）在[-1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是f(

2

)=-8

2

．…13分．

點評：本題考查了利用導數求閉區間上函數的最值，求函數在閉區間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數在（a，b）內所有極值與端點函數f（a），f（b） 比較而得到的．