Question

于定義在D上的函數，若同時滿足
①存在閉區間，使得任取，都有（是常數）；
②對于D內任意，當時總有；
則稱為“平底型”函數．
（1）判斷 ，是否是“平底型”函數？簡要說明理由；
（2）設是（1）中的“平底型”函數，若，（）
對一切恒成立，求實數的范圍；
（3）若是“平底型”函數，求和的值．

Answer 1

(1)不是 (2)
(3)當時是“平底型”函數

解：（1）是“平底型”函數，
存在區間使得時，，當和時，恒成立；不是“平底型”函數，
不存在使得任取，都有 
（2）若，（）對一切恒成立
，（）恒成立  
     
即 ，由于 
  即         
解得  
所以實數的范圍為 ；
（3）是“平底型”函數，
所以存在區間，使得恒成立
 
，  解得或 
當時， 是“平底型”函數；
存在區間，使時，；且時，恒成立，
當時， 不是“平底型”函數
綜合 當時是“平底型”函數．