Question

某養殖廠規定：飼料用完的第二天方可購買飼料，并且每批飼料可供n(n∈Z^*)天使用．已知該廠每天需要飼料200公斤，每公斤飼料的價格為1.8元，飼料的保管費為平均每公斤每天0.03元（當天用掉的飼料不計保管費用），購買飼料每次支付運費300元．
（1）求該廠多少天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最小；
（2）若提供飼料的公司規定，當一次購買飼料不少5噸時其價格可享受八五折優惠（即原價的85%）．問該廠是否考慮利用此優惠條件，請說明理由．

Answer 1

（1）每隔10天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最小（2）該廠應該利用此優惠條件

（1）設該廠應隔天購買一次飼料，平均每天支付的總費用為元…1分
∵飼料的保管費用每天比前一天少200×0.03＝6（元），
∴天飼料的保管費用共是
                        ………………4分
從而有                                  …………5分
                                          ………………7分
當且僅當，即時，有最小值417………………8分
即每隔10天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最小.
（2）若廠家利用此優惠條件，則至少25天購買一次飼料，設該廠利用此優惠條件，每隔天()購買一次飼料，平均每天支付的總費用為元，則

                                                ……………10分
∵
∴當時，，即函數在上是增函數…………11分
∴當時，取得最小值390
∵390<417，故該廠應該利用此優惠條件   …………………………………… 13分