Question

等比數列{a_n}中,a₁,a₂,a₃分別是下表第一、二、三行中的某一個數,且a₁,a₂,a₃中的任何兩個數不在下表的同一列.

	第一列	第二列	第三列
第一行	3	2	10
第二行	6	4	14
第三行	9	8	18

 
(1)求數列{a_n}的通項公式;
(2)若數列{b_n}滿足:b_n=a_n+(-1)ⁿlna_n,求數列{b_n}的前2n項和S_2n.

Answer 1

(1) a_n=2·3^n-1     (2)S_2n=3²ⁿ+nln3-1

解:(1)當a₁=3時,不合題意;
當a₁=2時,當且僅當a₂=6,a₃=18時,符合題意;
當a₁=10時,不合題意.
因此a₁=2,a₂=6,a₃=18,所以公比q=3.
故a_n=2·3^n-1.
(2)因為b_n=a_n+(-1)ⁿlna_n,
=2×3^n-1+(-1)ⁿln(2×3^n-1)
=2×3^n-1+(-1)ⁿ[ln2+(n-1)ln3]
=2×3^n-1+(-1)ⁿ(ln2-ln3)+(-1)ⁿnln3.
所以S_2n=b₁+b₂+…+b_2n=2(1+3+…+3^2n-1)+[-1+1-1+…+(-1)²ⁿ](ln2-ln3)+[-1+2-3+…+(-1)²ⁿ2n]ln3=2×+nln3=3²ⁿ+nln3-1.