Question

（08年福州質檢理）（12分）

如圖，P―ABC中，D是AC的中點，PA=PB=PC=

   （1）求證：PD⊥平面ABC；

   （2）求二面角P―AB―C的大小；

   （3）求AB的中點E到平面PBC的距離.

 

Answer 1

解析：方法一：

（1）證明：連結BD，

∵D分別是AC的中點，PA=PC=

∴PD⊥AC，

∵AC=2，AB=，BC=

∴AB²+BC²=AC²，

∴∠ABC=90°，即AB⊥BC.…………2分

∴BD=，

∵PD²=PA²―AD²=3，PB

∴PD²+BD²=PB²，

∴PD⊥BD，

∵ACBD=D

∴PD⊥平面ABC.…………………………4分

（2）解：取AB的中點E，連結DE、PE，由E為AB的中點知DE//BC，

∵AB⊥BC，

∴AB⊥DE，

∵DE是直線PE的底面ABC上的射景

∴PE⊥AB

∴∠PED是二面角P―AB―C的平面角，……………………6分

在△PED中，DE=∠=90°，

∴tan∠PDE=

∴二面角P―AB―C的大小是

（3）解：設點E到平面PBC的距離為h.

∵V_P―EBC=V_E―PBC，

∴……………………10分

在△PBC中，PB=PC=，BC=

而PD=

∴

∴點E到平面PBC的距離為……………………12分

方法二：

（1）同方法一：

（2）解：解：取AB的中點E，連結DE、PE，

過點D作AB的平行線交BC于點F，以D為

原點，DE為x軸，DF為y軸，

DP為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

則D（0，0，0），P（0，0，），

E（），B=（）

設上平面PAB的一個法向量，

則由

這時，……………………6分

顯然，是平面ABC的一個法向量.

∴

∴二面角P―AB―C的大小是……………………8分

（3）解：

設平面PBC的一個法向量，

由

得

令是平面PBC的一個法向量……………………10分

又

∴點E到平面PBC的距離為………………12分