Question

如果關于x的方程ax+

1

x2

=3有且僅有一個正實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由函數(shù)的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），故我們可將關于x的方程ax+

1

x2

=3有且僅有一個正實數(shù)解，轉化為方程ax³-3x²+1=0有且僅有一個正實數(shù)解，求出函數(shù)的導函數(shù)后，分類討論函數(shù)的單調性，即可得到答案．

解答：解：由函數(shù)解析式可得：x≠0，如果關于x的方程ax+

1

x2

=3有且僅有一個正實數(shù)解，
即方程ax³-3x²+1=0有且僅有一個正實數(shù)解，
構造函數(shù)f（x）=ax³-3x²+1
則函數(shù)f（x）的圖象與x正半軸有且僅有一個交點．
又∵f'（x）=3x（ax-2）
當a=0時，代入原方程知此時僅有一個正數(shù)解

3

3

，滿足要求；
當a＞0時，則得f（x）在（-∞，0）和（

2

a

，+∞）上單調遞增，在（0，

2

a

）上單調遞減，
f（0）=1，知若要滿足條件只有x=

2

a

時，f（x）取到極小值0，
x=

2

a

代入原方程得到正數(shù)解a=2，滿足要求；
當a＜0時，ax³=3x²-1，函數(shù)y=ax³  與y=3x²-1在x＞0時只有一個交點，滿足題意，
綜上：a≤0或a=2．
故答案為：a≤0或2

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，其中根據(jù)函數(shù)的定義域，將分式方程根的個數(shù)問題轉化為整式方程根的個數(shù)問題是解答本題的關鍵．