Question

如果關于x的方程ax+

1

x2

=3有且僅有一個正實數解，則實數a的取值范圍是（　　）

• A、（-∞，0）
• B、{a|a≤0或a=2}
• C、（0，+∞）
• D、{a|a≥0或a=-2}

Answer 1

分析：先將“ax+

1

x2

=3有且僅有一個正數解”轉化為“f（x）=ax³-3x²+1的圖象與x正半軸有且僅有一個交點”，然后對函數f（x）進行求導，根據導數的正負判斷函數的單調性并求出極小值，進而求解即可．

解答：解：∵x≠0，
所以ax+

1

x2

=3與ax³-3x²+1=0的解完全相同（易知0不是后一個方程的解）
令f（x）=ax³-3x²+1
則“ax+

1

x2

=3有且僅有一個正數解”與“f（x）的圖象與x正半軸有且僅有一個交點”等價．
∵f'（x）=3x（ax-2）
當a=0時，代入原方程知此時僅有一個正數解

3

3

；
當a＞0時，令f'（x）＞0，f'（x）＜0，
得f（x）在（-∞，0）和（

2

a

，+∞）上單調遞增，在（0，

2

a

）上單調遞減，
f（0）=1，知若要滿足條件只有x=

2

a

時f（x）取到極小值0．
x=

2

a

代入原方程得到正數解a=2；
當a＜0時，同理f（x）在（-∞，

2

a

）和（0，+∞）上單調遞增，在（

2

a

，0）上單調遞減，
f（0）=1＞0，所以此時不存在滿足條件的a
故實數a的取值范圍是（0，+∞）
故選C．

點評：本題主要考查根的存在性和區間的判定、根據導數的正負判斷函數的單調性問題．考查基礎知識的綜合運用．