Question

已知函數(shù).
⑴ 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
⑵ 如果對于任意的，總成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
⑶ 設(shè)函數(shù)，. 過點(diǎn)作函數(shù)圖像的所有切線，令各切點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列，求數(shù)列的所有項(xiàng)之和的值.

Answer 1

(1).;(2).(3).

解析試題分析：(1)利用求導(dǎo)的基本思路求解，注意導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算；（2）利用轉(zhuǎn)化思想將問題轉(zhuǎn)化為總成立，只需時(shí).借助求導(dǎo)，研究的性質(zhì)，通過對參數(shù)k的討論和單調(diào)性的分析探求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）化簡函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何含義求解曲線的切線方程，化簡得到，分析得到，，則這兩個(gè)函數(shù)的圖像均關(guān)于點(diǎn)對稱進(jìn)行求解數(shù)列的所有項(xiàng)之和的值.
試題解析：(1) 由于，所以
.           (2分)
當(dāng)，即時(shí)，；
當(dāng)，即時(shí)，.
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，
單調(diào)遞減區(qū)間為.                         (4分)
(2) 令，要使總成立，只需時(shí).
對求導(dǎo)得，
令，則，()
所以在上為增函數(shù)，所以.                       (6分)
對分類討論：
① 當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上為增函數(shù)，所以，即恒成立；
② 當(dāng)時(shí)，在上有實(shí)根，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/05/4/12jca4.png" style="vertical-align:middle;" />在上為增函數(shù)，
所以當(dāng)時(shí)，，所以，不符合題意；
③ 當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上為減函數(shù)，則，不符合題意.
綜合①②③可得，所求的實(shí)數(shù)的取值范圍是.                    (9分)
(3) 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/47/5/11e5u3.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則斜率為，
切線方程為，            &n