Question

有甲、乙兩種商品，經營銷售這兩種商品所能獲得的利潤依次是P（萬元）和Q（萬元），它們與投入資金x（萬元）的關系有經驗公式：P=

x

5

，Q=

3

5

x

．今有3萬元資金投入經營甲、乙兩種商品，為獲得最大利潤，對甲、乙兩種商品的資金投入分別應為多少？能獲得最大利潤是多少？

Answer 1

分析：根據3萬元資金投入經營甲、乙兩種商品，設投入乙x萬元，則投入甲（3-x）萬元，根據總利潤=甲的利潤+乙的利潤，可得函數關系式，利用換元法轉化為二次函數，利用配方法可得結論．

解答：解：設對乙種商品投資x萬元，則對甲種商品投資（3-x）萬元，總利潤為y萬元，…（1分）
根據題意得y=

1

5

(3-x)+

3

5

x

（0≤x≤3）…（6分）
令t=

x

，則x=t²，0≤t≤

3

．
所以y=

1

5

(3-t2)+

3

5

t=-

1

5

(t-

3

2

)2+

21

20

，（0≤t≤

3

）…（9分）
當t=

3

2

時，ymax=

21

20

=1.05，此時x=

9

4

，3-x=

3

4

…（11分）
由此可知，為獲得最大利潤，對甲、乙兩種商品投資分別為0.75萬元和2.25萬元，獲得的最大利潤為1.05萬元．…（12分）

點評：本題考查了函數模型的構建，考查學生利用數學知識解決實際問題，考查函數的最值．關鍵是根據題意列方程，利用換元、配方法求函數的最值．