Question

設函數，，，記.
（1）求曲線在處的切線方程；
（2）求函數的單調區間；
（3）當時，若函數沒有零點，求的取值范圍.

Answer 1

（1）曲線在處的切線方程；（2）當時，函數的增區間是，當時，函數的增區間是，減區間是；（3）實數的取值范圍為.

試題分析：（1）求曲線在處的切線方程，由導數的幾何意義得，對函數求導得，既得函數在處的切線的斜率為，又，得切點，由點斜式可得切線方程；（2）求函數的單調區間，由題意得，，求函數的單調區間，先確定函數的定義域為，由于含有對數函數，可對函數求導得，，由于含有參數，需對討論，分，兩種情況，從而得函數的單調區間；（3）當時，若函數沒有零點，即無解，由（2）可知，當時，函數的最大值為，只要小于零即可，由此可得的取值范圍．
試題解析：(1)，則函數在處的切線的斜率為.又，
所以函數在處的切線方程為,即       4分
（2）， ，（）.
①當時，，在區間上單調遞增；
②當時，令，解得；令，解得.
綜上所述，當時，函數的增區間是；
當時，函數的增區間是，減區間是.       9分
（3）依題意，函數沒有零點，即無解.
由（2）知，當時，函數在區間上為增函數,區間上為減函數，
由于，只需，
解得.
所以實數的取值范圍為.                    13分