Question

給出下列函數：①y=x²+1；②y=-|x|；③y=（

1

2

）^x；④y=log₂x；
其中同時滿足下列兩個條件的函數的個數是（　　）
條件一：定義在R上的偶函數；
條件二：對任意x₁，x₂∈（0，+∞），（x₁≠x₂），有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0．

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：條件二說明函數遞減，對四個函數逐一檢驗是否滿足兩個條件即可．

解答：解：條件二：對任意x₁，x₂∈（0，+∞），（x₁≠x₂），有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，即說明f（x）為（0，+∞）上的減函數．
①中，∵（-x）²+1=x²+1，∴y=x²+1為偶函數，故滿足條件一，
但x＞0時，y=x²+1單調遞增，故不滿足條件二；
②中，∵-|-x|=-|x|，∴y=-|x|為偶函數，滿足條件一；
又當x＞0時，y=-|x|=-x單調遞減，故滿足條件二；
故y=-|x|同時滿足條件一、二；
③中，指數函數的圖象既不關于原點對稱，也不關于y軸對稱，
∴y=(

1

2

)x不具備奇偶性，故不滿足條件一；
④中，對數函數的定義域為（0，+∞），不關于原點對稱，
∴y=log₂x不具備奇偶性，故不滿足條件一；
綜上，同時滿足兩個條件的函數只有②，
故選：B．

點評：本題考查函數的奇偶性、單調性的判斷，屬基礎題，定義是解決該類題目的常用方法．