Question

設橢圓M：(a＞b＞0)的離心率為，長軸長為，設過右焦點F傾斜角為的直線交橢圓M于A，B兩點。

（Ⅰ）求橢圓M的方程；

（Ⅱ）求證| AB | =；

（Ⅲ）設過右焦點F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C，D，求|AB| + |CD|的最小值。

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）略；（Ⅲ）。

解析:

解：（Ⅰ）所求橢圓M的方程為…4分

         （Ⅱ）當≠，設直線AB的斜率為k = tan，焦點F ( 3 , 0 )，則直線AB的方程為

                   y = k ( x – 3 )               有( 1 + 2k² )x² – 12k²x + 18( k² – 1 ) = 0

                   設點A ( x₁ , y₁ ) , B ( x₂ , y₂ )              有x₁ + x₂ =, x₁x₂ =

                   |AB| = ** … 6分

                   又因為   k = tan=              代入**式得

                   |AB| = ………… 8分

                   當=時，直線AB的方程為x = 3，此時|AB| =……………… 10分

                   而當=時，|AB| ==

綜上所述：所以|AB| =……………… 11分

（Ⅲ）過右焦點F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C，D，

                   同理可得         |CD| == ……………………… 12分

                   有|AB| + |CD| =+=

因為sin2∈[0，1]，所以   當且僅當sin2=1時，|AB|+|CD|有最小值是  …… 16分