Question

（2012•福州模擬）已知函數 f（x）的定義域為R，其導函數f′（x）的圖象如圖所示，則對于任意x₁，x₂∈R（ x₁≠x₂），下列結論正確的是（　　）
①f（x）＜0恒成立；
②（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0；
③（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0；
④f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

；
⑤f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

．

A．①③

B．①③④

C．②④

D．②⑤

Answer 1

分析：由導函數的圖象可知，導函數f′（x）的圖象在x軸下方，即f′（x）＜0，故原函數為減函數，并且是，遞減的速度是先快后慢．由此可得函數f（x）的圖象，再結合函數圖象易得正確答案．

解答：解：由導函數的圖象可知，導函數f′（x）的圖象在x軸下方，即f′（x）＜0，故原函數為減函數，
并且是，遞減的速度是先快后慢．所以f（x）的圖象如圖所示．
f（x）＜0恒成立，沒有依據，故①不正確；
②表示（x₁-x₂）與[f（x₁）-f（x₂）]異號，即f（x）為減函數．故②正確；
③表示（x₁-x₂）與[f（x₁）-f（x₂）]同號，即f（x）為增函數．故③不正確，
④⑤左邊邊的式子意義為x₁，x₂中點對應的函數值，即圖中點B的縱坐標值，
右邊式子代表的是函數值得平均值，即圖中點A的縱坐標值，顯然有左邊小于右邊，
故④不正確，⑤正確，綜上，正確的結論為②⑤．
故選D．

點評：本題為導函數的應用，由導函數的圖象推出原函數應具備的性質，利用數形結合是解決問題的關鍵，屬基礎題．