Question

（2013•湛江二模）已知a＜2，f(x)=x-alnx-

a-1

x

，g(x)=

1

2

x2+ex-xex．（注：e是自然對數的底）
（1）求f（x）的單調區間；
（2）若存在x₁∈[e，e²]，使得對任意的x₂∈[-2，0]，f（x₁）＜g（x₂）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）確定函數的定義域，求導函數，再分類討論，利用導數的正負，可得f（x）的單調區間；
（2）由題意，存在x₁∈[e，e²]，使得對任意的x₂∈[-2，0]，f（x₁）＜g（x₂）恒成立，等價于對任意x₁∈[e，e²]及x₂∈[-2，0]，f（x）_min＜g（x）_min，確定函數的單調性，求出最值，即可求得實數a的取值范圍．

解答：解：（1）由題意可得f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=

(x-1)[x-(a-1)]

x2

∵a＜2，∴a-1＜1
①當a-1≤0，即a≤1，∴x∈（0，1）時，f′（x）＜0，f（x）是減函數，x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）是增函數；
②當0＜a-1＜1，即1＜a＜2，∴x∈（0，a-1）∪（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）是增函數，x∈（a-1，1）時，f′（x）＜0，f（x）是減函數；
綜上所述，當a≤1時，f（x）的單調減區間是（0，1），單調增區間是（1，+∞）；當1＜a＜2時，f（x）的單調減區間是（a-1，1），單調增區間是（0，a-1），（1，+∞）；
（2）由題意，存在x₁∈[e，e²]，使得對任意的x₂∈[-2，0]，f（x₁）＜g（x₂）恒成立，等價于對任意x₁∈[e，e²]及x₂∈[-2，0]，f（x）_min＜g（x）_min，
由（1），當a＜2，x₁∈[e，e²]時，f（x）是增函數，f（x）_min=f（e）=e-a-

a-1

e

，
∵g′（x）=x（1-e^x），對任意的x₂∈[-2，0]，g′（x）≤0，
∴g（x）是減函數，∴g（x）_min=g（0）=1，
∴e-a-

a-1

e

＜1，
∴a＞

e2-e+1

e+1

，
∵a＜2，
∴

e2-e+1

e+1

＜a＜2．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的最值，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．