Question

（本小題滿分13分）已知函數（），其中自然對數的底數。
（1）若函數圖象在處的切線方程為，求的值；
（2）求函數的單調區間；
（3）設函數，當時，存在使得成立，求的取值范圍.

Answer 1

（1）（2）（3）

（1）由已知，，      1分
切線的斜率為，即，    2分
解得；       3分
（2）由（1），.
若＜0，由＞0可得＜，＜0可得＞
的單增區間為，單減區間為       5分
若＞0，由＞0可得＞，＜0可得＜
的單增區間為，單減區間為      7分
（3）當時，由（1）可知在區間上單增，在區間上單減
則        8分
由知
易知在區間上單減，在區間上單增。
則         11分
則存在使得成立等價于
即，即          13分
【考點定位】本題主要考查導數的計算，導數的幾何意義及應用導數研究函數的單調性、極值，考查輔助函數證明不等式，意在考查考生的運算能力、分析問題、解決問題的能力、轉化與化歸思想及創新意識．