Question

已知函數f(x)＝sinx，g(x)＝mx－ (m為實數)．
(1)求曲線y＝f(x)在點P()，f()處的切線方程；
(2)求函數g(x)的單調遞減區間；
(3)若m＝1，證明：當x>0時，f(x)<g(x)＋.

Answer 1

（1）x－y＋1－＝0
（2）則g(x)的單調遞減區間是(－∞，－)，(，＋∞)．
（3）見解析

解：(1)由題意得所求切線的斜率k＝f′()＝cos＝.
切點P(，)，則切線方程為y－＝ (x－)，
即x－y＋1－＝0.
(2)g′(x)＝m－x².
①當m≤0時，g′(x)≤0，則g(x)的單調遞減區間是(－∞，＋∞)；
②當m>0時，令g′(x)<0，解得x<－或x>，
則g(x)的單調遞減區間是(－∞，－)，(，＋∞)．
(3)證明：當m＝1時，g(x)＝x－.
令h(x)＝x－sinx，x∈[0，＋∞)，h′(x)＝1－cosx≥0，
則h(x)是[0，＋∞)上的增函數．
故當x>0時，h(x)>h(0)＝0，即sinx<x，f(x)<g(x)＋.