Question

已知橢圓的左準(zhǔn)線為，，過原點(diǎn)O作傾角分別為30°，150°的兩條直線l₁，l₂，點(diǎn)A在直線l₁上，點(diǎn)B在直線l₂上，點(diǎn)P滿足（λ＞0），且點(diǎn)P恰在雙曲線上，
（1）求橢圓方程；
（2）求△OAB面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓的準(zhǔn)線方程，題設(shè)中a和b的關(guān)系，進(jìn)而求得a，b，則橢圓的方程可得．
（2）依題意可求得直線l₁和l₂的方程，設(shè)出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出三角形OAB的面積，把點(diǎn)P代入雙曲線方程求得，代入三角形面積表達(dá)式，根據(jù)均值不等式求得答案．
解答：解：（1）由解得a²=3，b²=1，
所以橢圓方程為；
（2）直線，直線，設(shè)點(diǎn)，P為有向內(nèi)分點(diǎn)，=，
且將代入雙曲線方程，
可得：，化簡(jiǎn)得，
所以，
當(dāng)λ=1時(shí)取等，所以
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與橢圓的關(guān)系，及向量的基本知識(shí)．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．