Question

如圖所示，已知拋物線方程為y2＝4x，其焦點為F，準線為l，A點為拋物線上異于頂點的一個動點，射線HAE垂直于準線l，垂足為H，C點在x軸正半軸上，且四邊形AHFC是平行四邊形，線段AF和AC的延長線分別交拋物線于點B和點D.

(1)證明：∠BAD＝∠EAD；

(2)求△ABD面積的最小值，并寫出此時A點的坐標．

 

Answer 1

（1）見解析（2）16 ，(1，±2)

【解析】(1)證明：由拋物線定義得|AH|＝|AF|，∴∠AHF＝∠AFH.

又∵四邊形AHFC是平行四邊形，∴HF∥AC，∴∠AHF＝∠EAD，∠AFH＝∠BAD.

綜上可得∠BAD＝∠EAD.

(2)易知焦點F(1，0)，準線l方程為x＝－1，設A點坐標為 (a≠0)，

則直線AB方程為4ax－(a2－4)y－4a＝0(包括AB⊥x軸的情況)，

結合y2＝4x得4a2x2－(a4＋16)x＋4a2＝0，

根據拋物線定義，可知|AB|＝xA＋xB＋2＝＋2＝＋＋2≥4(當且僅當a＝±2時等號成立)．

另外，結合kAD＝kHF＝－，可得直線AD方程為y＝－x＋＋a，

結合y2＝4x得ay2＋8y－a3－8a＝0，由于yD＋yA＝－，

∴yD＝－－a.又∵∠BAD＝∠EAD，

∴D點到直線AB的距離即為D點到直線AE的距離，即d＝|yD－yA|＝≥8(當且僅當a＝±2時等號成立)．

∴S△ABD＝·|AB|·d≥×4×8＝16(當且僅當a＝±2時取“＝”號)．

此時A點坐標為(1，±2)．