Question

若正項數列滿足條件：存在正整數，使得對一切都成立，則稱數列為級等比數列．
（1）已知數列為2級等比數列，且前四項分別為，求的值；
（2）若為常數），且是級等比數列，求所有可能值的集合，并求取最小正值時數列的前項和；
（3）證明：為等比數列的充要條件是既為級等比數列，也為級等比數列．

Answer 1

（1）（2），0，（3）詳見解析.

試題分析：（1）解新定義數列問題，關鍵從定義出發，建立等量關系. ,
,,（2）本題化簡是關鍵.因為是級等比數列，所以
 

所以，最小正值等于，此時
，（3）充分性就是驗證，易證，關鍵在于證必要性，可從兩者中在交集（共同元素）出發. ,成等比數列, 因此既是中的項，也是中的項，既是中的項，也是中的項，可得它們公比的關系，進而推出三者結構統一，得出等比數列的結論.
解（1）   （2分）

   （4分）
（2）是級等比數列，
 （1分）




所以，
 （3分）
最小正值等于，此時
，，
 （5分）
 （6分）
（3）充分性：若為等比數列，則
對一切成立，顯然對成立。
所以既為級等比數列，也為級等比數列。 （2分）
必要性：若為級等比數列，，則均成等比數列，設等比數列的公比分別為，為級等比數列，，則成等比數列，設公比為     （3分）
既是中的項，也是中的項，
既是中的項，也是中的項，
     （5分）
設，則
所以（），（），
又，，
所以，     （7分）
（）
所以，，（）
綜合得：，顯然為等比數列。     （8分）