Question

如圖，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁ 是棱長為3的正方體，點E在AA₁上，點F在CC₁上，且AE=FC₁=1，
（1）求證：E，B，F，D₁四點共面；
（2）求點B₁到平面EBFD₁的距離；
（3）用θ表示截面EBFD₁和面BCC₁B₁所成銳二面角大小，求tanθ．

Answer 1

分析：（1）四點共面問題通常我們將它們變成兩條直線，然后證明這兩條直線平行或相交，根據公理3的推論2、3可知，它們共面．
（2）先求出平面的法向量，再求出平面的斜線BB₁所在的向量在法向量上的射影即可．
（3）分別求出兩個平面的法向量，再根據兩個向量的有關運算求出兩個向量的夾角，進而轉化為二面角的平面角的余弦值求出答案即可．

解答：解：（1）證明：如圖：在DD₁上取一點N使得DN=1，
連接CN，EN，則AE=DN=1．CF=ND₁=2、
因為CF∥ND₁，
所以四邊形CFD₁N是平行四邊形，
所以D₁F∥CN．
同理四邊形DNEA是平行四邊形，所以EN∥AD，且EN=AD，
又BC∥AD，且AD=BC，所以EN∥BC，EN=BC，
所以四邊形CNEB是平行四邊形，
所以CN∥BE，
所以D₁F∥BE，
所以E，B，F，D₁四點共面．
（2）設向量

BP

=(x，y，z)，并且與截面EBFD₁垂直，所以

BP

⊥

BE

，

BP

⊥

BF

．
因為

BE

=(-3，0，1)，

BF

=(0，-3，2)，
所以

BP • BE =0 BP • BF =0

，即

-3x+z=0 -3y+2z=0

，
取z=3得x=1，y=2，所以

BP

=(1，2，3)．
又因為

B1B

=(0，0，-3)，
所以點B₁到平面EBFD₁的距離為：d=

| BP • B1B |

|BP |

 =

9 14

14

．
（3）由（2）知

BP

=(1，2，3)是平面EBFD₁的一個法向量，
又

BA

=(-3，0，0)平面BCC₁B₁，所以

BP

和

BA

的夾角等于θ或π-θ（θ為銳角）．
所以cosθ

| BP •  BA |

|BP || BA |

=

14

14

． 故tanθ=

13

．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握幾何體的結構特征，進而得到空間中點、線、面的位置關系，結合有關定理進行證明即可，并且也有利于建立空間之間坐標系，利用向量的有關知識解決空間角與空間距離等問題．