Question

定義：F（x，y）=y^x（x＞0，y＞0）
（1）解關于x的不等式F（1，x²）+F（2，x）≤3x-1；
（2）記f（x）=3•F（1，x），設，若不等式對n∈N*恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）記g（x）=F（x，2），正項數列a_n滿足：，求數列a_n的通項公式，并求所有可能的乘積a_i•a_j（1≤i≤j≤n）的和．

Answer 1

【答案】分析：（1）有定義：F（x，y）=y^x（x＞0，y＞0）先把關于x的不等式F（1，x²）+F（2，x）≤3x-1?x²+x²≤3x-1，然后求解一元二次不等式即可；
（2）有f（x）=3•F（1，x）得到f（x）的解析式，進而求得，然后利用不等式對n∈N*恒成立求解即可；
（3）有g（x）=F（x，2），且正項數列a_n滿足：，求出數列a_n的通項公式，即可．
解答：解：（1）有定義：F（x，y）=y^x（x＞0，y＞0）得到：不等式F（1，x²）+F（2，x）≤3x-1?x²+x²≤3x-1⇒；
（2）有f（x）=3•F（1，x）得到f（x）=3x∴=，
∵=對n∈N*恒成立，
當a＞0時，aⁿ＞0，∴對n∈N*恒成立?對n∈N*恒成立，易知，∴
（3）∵g（x）=F（x，2），∴g（x）=2^x，又正項數列a_n滿足：，∴⇒a_n+1=3a_n又a₁=3
∴a_n=3ⁿ⇒a_i•a_j=3^i+j（o≤i≤j≤n），
將所得的積排成如下矩陣A=，設該矩陣的各項和為S，由在矩陣的空格處填上相應的數可以得：
矩陣B=，
在矩陣B中第一行的所有數的和為；
  在矩陣B中第二行的所有數的和為 ；
…
點評：此題考查了一元二次不等式的求解，還考查了作差及不等式的恒成立及等比數列的求和．