Question

（本小題滿分12分）
已知橢圓C :經過點離心率為。
（Ⅰ） 求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線l與橢圓C相交于A、B兩點，以線段OA、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，其中頂點P在橢圓C上，O為坐標原點。求O到直線l的距離的最小值。

Answer 1

（1）；（2）點O到直線l的距離的最小值為。

解析試題分析：（1）由已知， 所以.
又點在橢圓C上，可以得 
所以橢圓方程為                         （4分）
（2）當直線l有斜率時，設方程為
則由消去y，得
設點A、B、P的坐標分別為
則    （7分）
P 在橢圓上，可得，化簡得
需滿足
又點O到直線l的距離為d=
當且僅當k=0時等號成立。
當直線l斜率不存在時，由對稱性知，點P一定在x軸上，
從而P（-2，0）（2，0），直線l為x=1或x=-1，所以點O
到直線l的距離為1.
所以點O到直線l的距離的最小值為。                 （12分）
（直接寫出P為短軸端點，并求出距離,但未證明的給4分）
考點：本題主要考查橢圓標準方程，直線與橢圓的位置關系。
點評：中檔題，曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題求橢圓標準方程時，主要運用了橢圓的定義及幾何性質。（2）作為研究點到直線的距離最值問題，利用了函數思想。